Dijkstra求最短路（单源最短路，边权为正）

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。
请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离。

算法步骤

a. 初始化 dist[1] = 0, dist[i] = +inf S:当前已经确定为最短距离的点
b. for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
1. 寻找不在 S 中距离源点最近的点 t
2. 将 t 加到 S 中
3. 用 t 更新其他点的距离(dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]))
}

    时间复杂度 n方

正确性证明

https://blog.csdn.net/CrazyKeyboardMan/article/details/78219970
基于贪心

提醒：这里读者一定要反复仔细体会Lk
的含义，它不断更新的过程正是Dijkstra算法“由近及远，层层扩展”特点的体现。同时思考一下之前提过的“找到一个点后，该点Lk值肯定不会被更改”的原因（理解Lk的含义后，原因其实是显而易见的）。

以该点去松弛别的点（！st[i] 未使用过）该点被标记位true 之后不会被松弛故之后不会被更改。

好吧，直觉上感觉是对的，每次找最小，再由最小去松弛，所有点更新完后，算法结束。

朴素版

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N=510;

int g[N][N];    //为稠密阵所以用邻接矩阵存储
int dist[N];    //用于记录每一个点距离第一个点的距离
bool st[N];     //用于记录该点的最短距离是否已经确定

int n,m;

int Dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f,sizeof dist);     //初始化距离  0x3f代表无限大

    dist[1]=0;  //第一个点到自身的距离为0 
    /*
    二刷的时候没有初始化
    */

    for(int i=0;i<n;i++)      //有n个点所以要进行n次 迭代
    {
        int t=-1;       //t存储当前访问的点

        for(int j=1;j<=n;j++)   //这里的j代表的是从1号点开始
            if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j]))     
                t=j;

        st[t]=true;   

        for(int j=1;j<=n;j++)           //依次更新每个点所到相邻的点路径值
            dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
    }

    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;  //如果第n个点路径为无穷大即不存在最低路径
    return dist[n];
}
int main()
{
    cin>>n>>m;

    memset(g,0x3f,sizeof g);    //初始化图 因为是求最短路径
                                //所以每个点初始为无限大

    while(m--)
    {
        int x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        g[x][y]=min(g[x][y],z);     //如果发生重边的情况则保留最短的一条边
    }

    cout<<Dijkstra()<<endl; 
    return 0;
}

优化版

找最小值（优先队列）和松弛操作（邻接表）优化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1.5e5+10;

typedef pair<int,int> PII;

int n,m;
int h[N],e[N],ne[N],w[N],idx;
int d[N];
bool st[N];

void add(int a,int b, int c)
{
    e[idx] = b,w[idx] = c,ne[idx] = h[a],h[a] = idx++;
}

int f()
{
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    
    d[1] = 0;// 忘记初始化
    
    priority_queue<PII ,vector<PII>,greater<PII> > heap;
    heap.push({0,1});
    
    while(heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop(); //对应朴素版的找最小值
        
        int ver = t.second,dis =t.first;
        if(st[ver]) continue; // 没有排除 该点已经是最小值且已经以它松弛过别的点
        st[ver] = true;//标记
        
        for(int i = h[ver];i!=-1;i = ne[i])
        {
            int j  = e[i];
            if(d[j]>dis+w[i])//这里二刷没有注意 入队是有条件的 集合的原因
            {
                d[j] = dis+w[i];//对应朴素版的松弛操作，不需要对不相邻的进行更新
            
                heap.push({d[j],j});
            }
        }
    }
    
    if(d[n]==0x3f3f3f3f)return -1;
    return d[n];
    
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    memset(h,-1,sizeof h);
    
    while(m--)
    {
    int a,b,c;
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
    add(a,b,c);
    }
    int t  = f();
    cout<<t;  
    return 0;
}